Решение задач по определению потенциала, работы электрических сил

1 Найти потенциал шара радиуса R = 0,1 м, если на расстоянии r=10м от его поверхности потенциал электрического поля Решение: Поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, равною заряду q шара и помещенного в его центре. Поэтому потенциал в точке, находящейся на расстоянии R + r от центра шара, φr = kq/(R + r); отсюда q = (R + r) φr /k. Потенциал на поверхности шара

2 N одинаковых шарообразных капелек ртути одноименно заряжены до одного и того же потенциала φ . Каков будет потенциал Ф большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?

Решение: Пусть заряд и радиус каждой капельки ртути равны q и r . Тогда ее потенциал φ = kq / r. Заряд большой капли Q = Nq, и если ее радиус равен R , то ее потенциал Ф = kQ/R = kN q /R = N φ r / R. Объемы маленькой и большой капель и связаны между собой соотношением V=Nυ . Следовательно, и потенциал

3 В центре металлической сферы радиуса R = 1 м, несущей положительный заряд Q=10нКл, находится маленький шарик с положительным или отрицательным зарядом |q| = 20 нКл. Найти потенциал φ электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r=10R от центра сферы. Решение: В результате электростатической индукции на внешней и внутренней поверхностях сферы появятся равные по модулю, но противоположные по знаку заряды (см. задачу 25 и рис. 332). Вне сферы потенциалы электрических полей, создаваемых этими зарядами, в любой точке равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому потенциал суммарного поля индуцированных зарядов равен нулю. Таким образом, остаются лишь поля, создаваемые вне сферы зарядом BQ на ее поверхности и зарядом шарика q. Потенциал первого поля в точке удаленной от центра сферы на расстояние r , , а потенциал второго поля в той же точке . Полный потенциал . При q =+20нКл φ =27В; при q =-20нКл φ =-9В.

4 До какого потенциала можно зарядить находящийся в воздухе (диэлектрическая проницаемость ε =1) металлический шар радиуса R = 3 см, если напряженность электрического поля, при которой происходит пробой в воздухе, Е=3 МВ/м?

Решение: Наибольшую напряженность электрическое поле имеет у поверхности шара: Потенциал шара ; отсюда φ = ER =90 В.

5 Два одинаково заряженных шарика, расположенных друг от друга на расстоянии r = 25 см, взаимодействуют с силой F=1 мкН. До какого потенциала заряжены шарики, если их диаметры D = 1 см?

Решение: Из закона Кулона определяем заряды шариков: . Заряд q, находящийся на шарике радиуса R = D/ 2, создает на поверхности этого шарика потенциал В том месте, где находится этот шарик, заряд другого шарика создает потенциал . Таким образом, потенциал каждого шарика

6 В вершинах квадрата расположены точечные заряды (в нКл): q1 = +1, q2 = -2, q3= +3, q4 = -4 (рис. 71). Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре квадрата (в точке А). Диагональ квадрата 2а = 20 см.

Решение: Потенциал в центре квадрата равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых всеми зарядами в этой точке: Напряженность поля в центре квадрата является векторной суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в этой точке: Модули этих напряженностей Удобно сначала сложить попарно векторы, направленные по одной диагонали в противоположные стороны (рис. 339): E1 + E 3 и E 2 + E 4 . При данных зарядах сумма E 1 + E 3 по модулю равна сумме Е 2 + Е 4 . Поэтому результирующая напряженность Е направлена по биссектрисе угла между диагоналями и составляет с этими диагоналями углы α =45°. Ее модуль E =2545 В/м.

7 Найти потенциалы и напряженности электрического поля в точках а и b, находящихся от точечного заряда q=167нКл на расстояниях rа = 5 см и r b = 20 см, а также работу электрических сил при перемещении точечного заряда q o = 1 нКл из точки а в точку b.

Решение: Напряженности электрического поля в точках а и b Потенциалы в этих точках Работа электрических сил при перемещении заряда q0 из точки а в точку b

8 Точечный положительный заряд q создает в точках а и b (рис. 72) поля с напряженностями Еa и Еb. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда qo из точки а в точку b. Решение: Напряженности электрического поля в точках а и b равны где —расстояния точек а и b от заряда q. Потенциалы в точках а и b равны отсюда работа, необходимая для перемещения заряда q o из точки а в точку b ,

9 В атомной физике энергию быстрых заряженных частиц выражают в электрон-вольтах. Электрон-вольт (эВ) — это такая энергия, которую приобретает электрон, пролетев в электрическом поле путь между точками, разность потенциалов между которыми равна 1 В. Выразить электрон-вольт в джоулях. Какую скорость имеет электрон, обладающий энергией 1 эВ?

Решение: При прохождении электроном разности потенциалов V = 1 В электрические силы совершают над электроном работу Эта работа равна кинетической энергии, приобретенной электроном, т.е. Поскольку

10 Электрон летит от точки а к точке b, разность потенциалов между которыми V= 100 В. Какую скорость приобретает электрон в точке b, если в точке а его скорость была равна нулю?

Решение: Работа электрических сил равна изменению кинетической энергии электрона:

1 1 Какую работу необходимо совершить при переносе точечного заряда qo=30 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=10 см от поверхности заряженного металлического шара? Потенциал на поверхности шара φ = 200 В, радиус шара R = 2 см.

Решение: Потенциал на поверхности шара φ = kq/R; отсюда его заряд q = φ R/k. Потенциал на расстоянии R + r от центра шара При переносе заряда q o из точки с потенциалом в бесконечность работа электрических сил мкДж. Такую же работу необходимо совершить против электрических сил при переносе заряда q o из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r от поверхности шара.

1 2 При переносе точечного заряда q o =10 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=20 см от поверхности заряженного металлического шара, необходимо совершить работу А =0,5 мкДж. Радиус шара R=4 см. Найти потенциал φ на поверхности шара.

Решение: 1 3 Два одинаковых заряда q o =q=50 мкКл находятся на расстоянии r a =1 м друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r b =0,5 м?

Решение: 1 4 Два заряда q a =2 мкКл и q b =5 мкКл расположены на расстоянии r=40 см друг от друга в точках а и b (рис. 73). Вдоль прямой cd, проходящей параллельно прямой ab на расстоянии d=30см от нее, перемещается заряд q o =100мкКл. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q o из точки с в точку d, если прямые ас и bd перпендикулярны к прямой cd.

Решение: 1 5 Два параллельных тонких кольца радиуса R расположены на расстоянии d друг от друга на одной оси. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q o из центра первого кольца в центр второго, если на первом кольце равномерно распределен заряд q 1 , а на втором — заряд q 2 .

Решение: Найдем потенциал, создаваемый зарядом q , находящимся на кольце, в точке А на оси кольца, расположенной на расстояниих от его центра (рис. 340, а) и, следовательно, на расстояниях от точек, лежащих на кольце. Разобьем кольцо на отрезки, малые по сравнению с расстоянием r . Тогда заряд , находящийся на каждом отрезке (i — номер отрезка), можно рассматривать как точечный. Он создает в точке А потенциал . Потенциал, создаваемый в точке А всеми отрезками кольца (отстоящими от этой точки на одно и то же расстояние r ), будет В скобках стоит сумма зарядов всех отрезков, т. е. заряд всего кольца q; поэтому Потенциал Ф 1 поля в центре первого кольца складывается из потенциала, создаваемого зарядом q 1 , находящимся на первом кольце, для которого х=0, и потенциала, создаваемого зарядом q 2 , находящимся на втором кольце, для которого x=d (рис. 340, б). Аналогично находится потенциал в центре второго кольца: Окончательно для работы имеем

1 6 На тонком кольце радиуса R равномерно распределен заряд q. Какова наименьшая скорость υ, которую необходимо сообщить находящемуся в центре кольца шарику массы т с зарядом q o , чтобы он мог удалиться от кольца в бесконечность?

Решение: Если заряды q o и q одного знака, то удалить шарик от кольца в бесконечность можно, сообщив ему бесконечно малую скорость. Если же знаки зарядов разные, то сумма кинетической и потенциальной энергий шарика в центре кольца должна быть равна нулю, так как она равна нулю в бесконечности: , где φ =kq/R — потенциал в центре кольца (см. задачу 17 ); отсюда

1 7 На шарик радиуса R=2 см помещен заряд q=4 пКл. С какой скоростью подлетает к шарику электрон, начавший движение из бесконечно удаленной от него точки?

Решение: 1 8 Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты Н свободно падает незаряженный металлический шарик массы т. На какую высоту h после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если в момент удара на него переходит заряд q? Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна V, расстояние между пластинами равно d.

Решение: Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью Е= V/d, направленной вертикально. После удара шарик приобретает заряд того же знака, что и нижняя пластина конденсатора. Поэтому на него будет действовать со стороны электрического поля сила F=qE=qV / d, направленная вверх. Согласно закону сохранения энергии изменение энергии равно работе внешних сил (в данном случае — электрических). Учитывая, что удар абсолютно упругий и что в начальный и конечный моменты шарик имеет лишь потенциальную энергию в поле силы тяжести, получим откуда

1 9 Два шарика с одинаковыми зарядами q расположены на одной вертикали на расстоянии Н друг от друга. Нижний шарик закреплен неподвижно, а верхний, имеющий массу m , получает начальную скорость v, направленную вниз. На какое минимальное расстояние h приблизится верхний шарик к нижнему?

Решение: Согласно закону сохранения энергии где qV—работа электрических сил, V=kq/H—kq/h — разность потенциалов точек начального и конечного положения верхнего шарика. Для определения h получаем квадратное уравнение: Решая его, найдем (знак плюс перед корнем соответствовал бы максимальной высоте, достигнутой шариком, если бы он получил ту же начальную скорость, направленную вверх).

20 Найти максимальное расстояние h между шариками в условиях предыдущей задачи, если неподвижный шарик имеет отрицательный заряд q, а начальная скорость v верхнего шарика направлена вверх.

Решение: 2 1 Электрон, пролетая в электрическом поле путь от точки а к точке b, увеличил свою скорость с νa =1000 км/с до νab = 3000 км/с. Найти разность потенциалов между точками а и b электрического поля.

Решение: Работа, совершенная над электроном электрическим полем, идет на увеличение кинетической энергии электрона: откуда где γ — удельный заряд электрона. Разность потенциалов отрицательна. Так как электрон имеет отрицательный заряд, то скорость электрона увеличивается при его движении в сторону возрастания потенциала.

2 2 В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью ν = 20 000 000 м/с, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние h от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние между пластинами d=2 см, длина конденсатора l=5 см, разность потенциалов между пластинами v=200 В.

Решение: За время пролета t = l/v электрон смещается в направлении действия силы на расстояние где γ — удельный заряд электрона.

2 3 Положительно заряженная пылинка массы г находится в равновесии внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально. Между пластинами создана разность потенциалов V 1 =6000 В. Расстояние между пластинами d=5см. На какую величину необходимо изменить разность потенциалов, чтобы пылинка осталась в равновесии, если ее заряд уменьшился на q o =1000 e?

Решение: На пылинку действуют сила тяжести mg и сила со стороны электрического поля, где —начальный заряд пылинки и E 1 = V 1 /d—напряженность электрического поля в конденсаторе.Чтобы пылинка могла находиться в равновесии, верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена отрицательно. При равновесииmg = F, или ; отсюда .Так как уменьшение заряда пылинки на q o = 1000 e равносильно увеличению положительного заряда на q o , то новый заряд пылинки q 2 = q 1 + q o . При равновесии , где V 2 —новая разность потенциалов между пластинами. Учитывая выражения для q2, q1 и q0, найдем Таким образом, разность потенциалов нужно изменить на V 2 — V 1 = — 980 В (знак минус показывает, что ее нужно уменьшить, так как заряд пылинки увеличился).

2 4 Решить предыдущую задачу, считая пылинку заряженной отрицательно.

Решение: Верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена положительно. Новый заряд пылинки q 2 = q 1- q o , где q o = 1000 e.Поэтому (см. задачу 23 ) Напряжение между пластинами нужно увеличить на V 2 — V 1 = 1460 В.

2 5 В электрическое поле плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально, помещена капелька масла, имеющая заряд q=1 е. Напряженность электрического поля подобрана так, что капелька покоится. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V =500 В, расстояние между пластинами d=0,5 см. Плотность масла . Найти радиус капельки масла.

Решение: При равновесии откуда

2 6 Внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены вертикально, помещена диэлектрическая палочка длины l=1 см с металлическими шариками на концах, несущими заряды +q и — q(|q|=1 нКл). Палочка может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=10см. Какую работу необходимо совершить, чтобы повернуть палочку вокруг оси на 180° по отношению к тому положению, которое она занимает на рис. 74? Решение: Напряженность электрического поля в конденсаторе E=V/d.Разность потенциалов между точками, где расположены заряды, где —потенциал в точке расположения заряда + q, а —потенциал в точке расположения заряда — q; при этом . При повороте палочки электрические силы совершают работу по переносу заряда — q из точки а в точку b и заряда + q из точки b в точку а , равную Знак минус означает, что работу должны совершить внешние силы.

2 7 Внутри плоского конденсатора помещен диэлектрический стержень длины l=3 см, на концах которого имеются два точечных заряда + q и —q (|q|=8нКл). Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=8 см. Стержень ориентирован параллельно пластинам. Найти момент сил, действующий на стержень с зарядами.

Решение: 2 8 На концах диэлектрической палочки длины l=0,5 см прикреплены два маленьких шарика, несущих заряды — q и +q (|q|=10 нКл). Палочка находится между пластинами конденсатора, расстояние между которыми d=10cм (рис.75). При какой минимальной разности потенциалов между пластинами конденсатора V палочка разорвется, если она выдерживает максимальную силу растяжения F=0,01 Н? Силой тяжести пренебречь. Решение: 2 9 Металлический шарик 1 радиуса R 1 =1 см прикреплен с помощью диэлектрической палочки к коромыслу весов, после чего весы уравновешены гирями (рис. 76). Под шариком 1 помещают заряженный шарик 2 радиуса R 2 =2 см. Расстояние между шариками h = 20 см. Шарики 1 и 2 замыкают между собой проволочкой, а потом проволочку убирают. После этого оказывается, что для восстановления равновесия надо снять с чашки весов гирю массы m = 4мг. До какого потенциала j был заряжен шарик 2 до замыкания его проволочкой с шариком 1? Решение: Если до замыкания шарик 2 имел заряд 0, то сумма зарядов шариков 1 и 2 после замыкания q 1 +q 2 = q. Потенциалы же их после замыкания одинаковы: . Следовательно, После замыкания шарик 2 действует на шарик 1 с силой откуда Начальный потенциал шарика 2