Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпали грани с одинаковым числом очков?

Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности некоторых условий S может либо произойти, либо не произойти. Пример: событие А1 - выпадение “шестерки” при одном броске игральной кости (кубика с занумерованными гранями).

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Пример: событие А2 - при одном броске игральной кости число выпавших очков меньше 7. Обозначим достоверное событие буквой W.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении совокупности событий S. Пример: событие А3 - при одном броске игральной кости число выпавших очков дробно. Невозможное событие обозначим символом Æ.

События W и Æ будем рассматривать как частные (“крайние”) случаи случайных событий, хотя они не являются таковыми.

Два или более событий назовем несовместными, если в результате осуществления условий S (или, по-другому, в результате испытания) невозможно их совместное осуществление, т.е. появление одного из них исключает появление другого в том же испытании. Пример: событие А4 - при броске игральной кости выпало нечетное число очков - несовместно с событием А1 (выпала “шестерка”).

§2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОПЕРАЦИИ

Сумма событий А+В - событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А и В, т.е. наступило либо А, либо В, либо оба сразу. Пример: для событий А1 и А4 из §1 А1 + А4 = .

Произведение событий А·В - это совместное осуществление и А и В (иначе: их общие исходы). Пусть В = . Тогда В · А4 = .

Для несовместных событий А и В их произведение А·В=Æ . В частности, для последнего примера можно записать А1 ·А4 = Æ.

Событие называется противоположным к А (т.е. состоит в том, что “ достоверное событие W происходит, а событие А не происходит”).

Если события Н1, Н2, . Нn попарно несовместны (Нi·Hj=Æ при i ¹ j ), а их сумма - достоверное событие (H1+H2+. +Hn = W ), то говорят, что - полная группа несовместных событий или разбиение W. В частности, - полная группа несовместных событий для любого А.

§3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность события А - это число Р(А), которое вводится для количественного описания степени объективной возможности наступления А.

В этом параграфе рассмотрим испытания, в которых множество W представляет собой конечное число равновозможных исходов. Например, если бросить игральную кость один раз, то она может выпасть на любую из шести граней. Достоверное событие W здесь состоит в том, что выпала одна из шести граней. Будем считать кубик симметричным; в этом случае можно считать все шесть исходов равновозможными. В случае двух бросков симметричной монеты - 4 различных исхода: “орел-орел” (О, О), “орел-решка”(О, Р), а также Р, О и Р, Р; их также считают равновозможными. Все они вместе образуют достоверное событие W для данного испытания. В первом случае вероятность каждого из элементарных исходов равна 1/6, а во втором 1/4.

В общем случае, если число всех элементарных исходов N(W) равно n, то вероятность каждого из них 1/n. Пусть число благоприятствующих исходов для А или, иначе, число элементарных исходов испытания, входящих в событие А (N(A)), равно m, тогда вероятность

Это формула классической вероятности.

В примерах из §1 шесть элементарных исходов: выпала цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событие А1 включает в себя ровно 1 элементарный исход, А2 (достоверное) - все 6, А3 (невозможное) - 0, А4 - 3. Поэтому

Еще примеры. При двух бросках симметричной монеты событие С = включает в себя три элементарных исхода из четырех, поэтому .

Событию D = благоприятствуют 3 из 8 возможных элементарных исходов, поэтому .

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА КЛАССИЧЕСКУЮ

ВЕРОЯТНОСТНУЮ СХЕМУ

О СТАТИСТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

ВЕРОЯТНОСТЯХ

Относительная частота события А - это отношение числа испытаний, в которых событие фактически появилось (благоприятствующих А) к общему числу проведенных испытаний: .

Если классическая вероятность вычисляется до опыта, то относительная частота - после опыта. Конечно, при увеличении количества испытаний в серии на 1 W(A) меняется - хотя бы потому, что на единицу изменяется знаменатель дроби. Тем не менее, с увеличением n величина W(A) приближается к некоторому числу, которое называют статистической вероятностью события А.

Заметим, что когда в задаче говорится, что “вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7”, то речь идет о вероятности, вычисленной статистически.

§6. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для классического, статистического и геометрического определений вероятности выполняются следующие аксиомы:

Р(А) ³ 0 для любого наблюдаемого события А ;

Если события А и В несовместны (А · В = Æ), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Из аксиом можно вывести следующие свойства:

1. Р(Æ) = 0 , откуда следует, что если А и В несовместны (А · В = Æ ), то Р(А · В) = 0.

4. Если А Ì В (А влечет за собой В), то Р(А) £ Р(В) .

5. Если А = B (т.е. А Ì В и В Ì А), то Р(А) = Р(В) .

6. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А · В), формула сложения вероятностей. В частности, если А и В несовместны (А · В = Æ), то получим аксиому III.

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Если F(x) = P(X < x), то функция F(x) называется функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины Х, т.е. функция распределения в точке “х” - это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного числа х.

Из определения сразу следуют несколько свойств F(x):

Функция распределения для случайной величины дискретного типа имеет “ступенчатый” график. Для случайной величины Х1 из §13 F(x) запишется так:

Обратите внимание, что левые концы «ступенек» - выколотые, а правые - нет. Например, F(1) = P(X1 < 1) = P(X1 =0) = 0,25;

F(1,1) = P(X1<1,1) = P(X1 = 0) + P(X1 = 1) = 0,75. «Высоты» «ступенек» равны очередным вероятностям, взятым из таблицы : сначала 0,25, затем еще +0,5, и наконец еще +0,25.

Аналогичный график и для другого примера – про домино – только там будет не 2, а 12 «ступенек».

Справедлива формула: P(a £ X < b) = F(b) - F(a).

ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНОГО ТИПА

Математическое ожидание - важнейшая “характеристика положения” случайной величины. Для дискретной величины она вычисляется по формуле

где x1, x2, . , xk, . - возможные значения случайной величины (верхняя строка таблицы), p1, p2, . pk, . - их вероятности (нижняя строка).

Математическое ожидание - это число, которое выражает среднее значение случайной величины (иначе, среднее значение по распределению). Для примера из §13

М(Х1) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1 .

Здесь Х1 - число “орлов”, выпавших при 2 бросках симметричной монеты. М(Х1) - среднее число “орлов”, выпадающих при 2 бросках симметричной монеты, это число равно 1.

Для другого примера из §13 М(Х2) = 6.

Отметим два простейших свойства математического ожидания:

2. М (С · Х) = С · М(Х) ( С - постоянная ).

В дальнейшем нам придется вычислять математическое ожидание случайной величины Х 2 . Если случайная величина Х задается таблицей

X x1 x2 . xk P p1 p2 . pk

то случайная величина Х 2 получится после возведения в квадрат возможных значений случайной величины Х, при этом Р(Х = хк)= = Р(Х 2 = хк 2 ) = pk :

X 2 x1 2 x2 2 . xk 2 P p1 p2 . pk

В частности, для примера из §13

X 2 0 2 1 2 2 2 P 0,25 0,5 0,25

и М(Х 2 ) = 0 2 · 0,25 + 1 2 · 0,5 + 2 2 · 0,25 = 1,5

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Нормальный (гауссовский) закон распределения задается плотностью распределения по формуле

Числа а Î R и s > 0 называются параметрами нормального закона. Нормальный закон с такими параметрами обозначается N(a,s).

При а = 0 функция f(x) четная ( f(-x) = f(x) ) , ее график симметричен относительно оси OY, и поэтому среднее значение М(Х) = 0. График f(x) для закона N(a,s) получается из графика f(x) для N(0,s) сдвигом на а единиц вправо ( это известно из курса средней школы ), поэтому в общем случае М(Х) = а для нормального закона.

Дисперсия же вычисляется по формуле D(X) =s 2 .

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

Показатель экспоненты приравняем к , откуда а = 2 , s = 1 . Числовой коэффициент должен быть равен А, следовательно,

, M (X) = a = 2, D(X) = s 2 = 1.

Этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, его численное значение можно найти по таблицам.

В большинстве учебников имеются таблицы для вычисления функций

Ф(х) - нечетная функция, т.е. Ф(-х) = - Ф(х). В общем случае

где а и s - параметры нормального закона. Следовательно, для данного примера

= 0,3413 + 0,5 = 0,8413.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)

Методические указания к

выполнению контрольной работы

для студентов заочной формы обучения

Псков

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОПЕРАЦИИ

§3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ