Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

( :Е Х Е V, и вектор (А, В) обозначаем через . Предполагаем также, что дано множество отображений, каждое из которых является отображением вида V V r.

Множество Е называется трехмерным вещественным евклидовым пространством , если выполнены следующие аксиомы.[9]

1) Для каждой точки А из Е и произвольного вектора из V существует одна и только одна точка X, такая, что = .

2) Для любых точек А, В и С выполняется равенство + = .

3) Множество является множеством положительно-определен­ных билинейных форм, таких, что если , то , где λ R * +. Другими словами, в пространстве V дана положительно-определенная билинейная форма с точностью до положительного числового множителя.

Аксиомы 1 - 2 определяют структуру трехмерного вещественного аффинного пространства Aз (с пространством переносов V).

Таким образом, базой структуры евклидова пространства Aз служит тройка множеств Е, V,R, где Е — множество точек, V — трех­мерное векторное пространство над полемR,аR— поле веществен­ных чисел.

Следовательно, при определении структуры Е 3 мы будем исходить из того, что структура поля R вещественных чисел и структура трех­мерного векторного пространства над полем R нам хорошо известны. Тогда структура Ез определяется всего лишь тремя аксиомами Вейля 1 - 3. Эту систему обозначим через w .

2. Докажем, что система w непротиворечива. Для этого построим интерпретацию этой системы, используя множество R действительных чисел.

Вектором назовем любой столбец вида , где - произвольные действительные числа. Сумма векторов и умножение вектора на число определяются как сумма столбцов и умножение столбца на действительное число:

Легко видеть, что при этих соглашениях выполняются все аксиомы I1- I8 трехмерного векторного пространства, сформулированные в п. 1,ч. 1, § 83. При этом роль вектора играет столбец , а в качестве базиса может быть принята тройка векторов , , .

Множество положительно-определенных билинейных форм определим так. Введем в рассмотрение билинейную форму ,где

и рассмотрим множество =, гдеλ - любое действительное по­ложительное число. Очевидно, при этом выполняется аксиома 3 Вейля.

Точкой назовем любую строчку вида , где - произвольные действительные числа. Отображение :E E V определим так:

Убедимся в том, что в построенной интерпретации выполняются аксиомы 1—2 Вейля.

Аксиома 1. Пусть A= (a1, а2, а3) — произвольная точка, = - произволь-ный вектор. Мы должны доказать что существует одна и только одна точка , такая, что = , или в терминах нашей интерпретации , , . Ясно, что существует одна и только одна тройка чисел , удовлетворяющая этим равенствам, поэтому в построенной интерпретации выполнена аксиома 1.

Простым подсчетом убеждаемся в том, что + = . Итак, нами доказана следующая теорема.

Теорема 1. Система аксиом 1—3 Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.

В ч. 1 §83 и 85 мы ввели понятия координат векторов в простран­стве V и координат точек в пространстве Ез. Тем самым мы, по существу, доказали, что любая интерпретация системы аксиом 1—3 изоморфна построенной выше интерпретации. Отсюда следует, что любые две интерпретации системы w изоморфны, следовательно, система аксиом Вейля обладает свойством полноты (она катего­рична).

3. Покажем, что, пользуясь системой аксиом w, можно ввести все известные нам понятия пространства Ез. Прежде всего заметим, что в пространстве Ез имеют место свойства, сформулированные в п. 1, ч. 1, §85; в частности, пространство Ез содержит бесконечное множество точек.

Напомним определения прямых и плоскостей в Ез (см. ч. 1, § 86). Пусть Lk — одномерное или двумерное подпространство трехмерного векторного пространства (т. е. k = 1 или 2). С помощью Lk введем бинарное отношение на множестве всех точек пространства Ез. Мы скажем, что точки А и В находятся в отношении , если Lk. Очевидно, — отношение эквивалентности (см. ч. 1, § 86, п. 1). Каж­дый из элементов фактор-множества Ез / при k =1 называется прямой, а при k = 2— плоскостью. Подпространство Lk называется направляющим подпространством прямой (плоскости), а векторы этого подпространства — векторами, параллельными прямой (пло­скости). Таким образом, прямая однозначно определяется заданием одной ее точки А и направляющего подпространства L1) (или одного ненулевого вектора L1). Аналогично плоскость однозначно опре­деляется заданием одной ее точки и направляющего подпростран­ства L2 (или двух линейно независимых векторов , L2). Прямую (или плоскость), проходящую через точку А и имеющую направляю­щее подпространство L, будем обозначать так: (A, L).

Убедимся в том, что все аксиомы группы I Гильберта могут быть доказаны в теории Г( w) как теоремы.

Выполнение аксиом I3 и I8 очевидно. В самом деле, пусть O — система координат пространства Ез. По первой аксиоме Вейля суще­ствуют точки А, В и С, такие, что = , = и = . Ясно, что точки О, А и В не лежат на одной прямой, а точки О, А, В и С не лежат в одной плоскости.

1°. Через любые две точки А и В проходит одна и только одна прямая (аксиомы I1 и I2).

В самом деле, прямая d, проходящая через точку А и парал­лельная вектору , проходит также через точку В.

Если предположить, что через точки А и В проходит еще одна прямая d / с направляющим подпространством L / 1, то АВ L / 1. Отсюда следует, что направляющие подпространства прямых d и d / совпа­дают, и, следовательно, сами прямые d и d / совпадают.

Предлагаем читателю аналогично доказать следующее утвержде­ние.

2°. Через любые три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость (аксиомы 14 и 15).

3°. Если две точки А и В прямой d лежат в плоскости , то любая точка прямой d лежит в плоскости (аксиома 16).

Пусть (A, L1)—прямая d, а (A, L2)- плоскость . Так как B d, то L1, поэтому L1 - подпространство, натянутое на вектор . По условию В , следовательно, L2. Таким обра­зом, L1 L2. Если М - произвольная точка прямой d, то L1 , следовательно, L2, т. е. М .

4°. Если две плоскости и / имеют общую точку А, то они имеют общую- прямую, которой принадлежат все общие точки плоско­стей и / .

Пусть (A, L) — плоскость , а (A / , L / ) — плоскость / . Под­пространства L и L / не совпадают и принадлежат векторному про­странству V, поэтому L L / =W, где W—одномерное векторное подпространство. Так как W L и W L / , то все точки прямой d = (A, W) лежат в плоскостях и / , т. е. d— общая прямая плоскостей и / . Рассмотрим теперь произвольную общую точку М, плоскостей и / . Очевидно L и L / , следовательно,

W. Отсюда следует, что М d.

Из свойства 4° следует, что в теории Г( w) имеет место аксиома I7 Гильберта.

4. Докажем лемму, необходимую для доказательства следующей теоремы.

Лемма. Если две прямые лежат в одной плоскости и их направ­ляющие подпространства не совпадают, то эти прямые пересекаются.

Пусть и - данные прямые, лежащие в плоскости . По условию леммы векторы и не коллинеарны, поэтому образуют базис направляющего подпространства плоскости . Тогда вектор , параллельный плоскости , можно разложить по векторам и :

По аксиоме 1 существуют точки М и М / , такие, что = а , = - . Очевидно, М (А, ), М / (В, ). Подставив эти значе­ния в равенство (1), получаем = - ', или + = . По аксиоме 2 имеем = . Отсюда, учитывая аксиому 1, приходим к выводу, что точки М и М / совпадают, поэтому прямые (A, ) и (В, ) имеют общую точку.

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Докажем следующий признак параллельности двух прямых.

Теорема 1. Две различные прямые параллельны тогда и толь­ко тогда, когда они имеют общее направляющее подпространство.

Пусть (A,L) и (В,L) - две прямые, имеющие общее направ­ляющее подпрост-ранство L. По определению эти прямые являются разными классами эквивалентности бинарного отношения , введен­ного с помощью L. Отсюда следует, что данные прямые не имеют общих точек. Они, очевидно, лежат в плоскости, проходящей через точку А и параллельной векторам и , где — ненулевой вектор подпространства L. Следовательно, данные прямые параллельны.

Обратное утверждение непосредственно следует из доказанной леммы.

Теорема 2. Через данную точку А, не лежащую на данной прямой d, проходит одна и только одна прямая, параллельная пря­мой d.

Пусть L — направляющее подпространство прямой d. По теореме 1 прямая (A, L), проходящая через точку А, параллельна прямой d. Докажем, что (A, L)—единственная прямая, удовлетво­ряющая этому условию. В самом деле, пусть (A, L / ) — любая прямая, проходящая через точку А и параллельная прямой d. По теореме 1 подпространства L / и L совпадают, поэтому прямые (A, L) и (A, L / ) совпадают.

Следствие. В теории Г( w) имеет место аксиома параллель­ности (аксиома V Гильберта).

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Можно доказать две теоремы о параллельных плоско­стях, аналогичные теоремам 1 и 2. Их формулировку и доказатель­ство мы предоставляем читателю.