Простейшие задачи в координатах

Теоретический урок по предмету математики для решения простейших задач в координатах.

На данной онлайн странице представлены следующие готовые домашние задания, гдз по геометрии из решебника за 9 класс:

– в начале этого урока представлены задачи 23 - 27, которые показывают примеры решений и ответы по теме "Формула для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца";
– в заданиях 28 - 33 рассмотрено, как решать геометрию, если нужно определить координаты середины отрезка, длину вектора по координатам;
– решения задач в координатах объясняются в контрольных с номерами 34 - 38 данной тетради-задачника;
– тема "Точки, треугольники, четырехугольники в координатах" представлена в работах 39 - 42 учебника;
– в примерах задач 43 - 47 рабочей тетради показывается, как находить различные решения по теме "Уравнение окружности";
– вопрос, как вычислить и написать параметрическое уравнение прямой, рассматривается в тестах 48 - 53.

Простейшие задачи в координатах

Определение:

Радиус-вектор произвольной точки М – это вектор, проведенный из начала координат в точку М.

Теорема:

Координаты любой точки плоскости равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

– радиус-вектор точки М

1 случай (рис.1). Если x>0

По правилу параллелограмма , где х=OM1

2 случай. Если x<0

Формула для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

Теорема:

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

A (a1;a2) - координаты начала вектора AB

B (b1;b2) - координаты конца вектора AB

По правилу треугольника вектор = =

Задача 23.

ΔABC – равнобедренный треугольник

Найти: координаты точки А, точки B и точки C

Точка C лежит на оси ординат: С Oy, то координаты точки С (0;h)

Т.к. CO является высотой в равнобедренном треугольнике, то CO и медиана.

Следовательно, AO=OB=2a : 2 = a

Тогда координаты точки A(–a;0), координаты точки B(a;0), т.к. A и B Ox (лежат на оси абсцисс).

Задача 24.

Найти: координаты вектора , если даны координаты начала и конца вектора

1) A(2;7) и B(–2;7); 2) A(–5;1) и B(–5;27)

Задача 25.

Найти: координаты вектора , если даны координаты начала и конца вектора

1) A(–3;0) и B(0;4); 2) A(0;3) и B(–4;0)

Задача 26.

Найти: координаты вектора , а также координаты его начала и конца вектора

1) Если A(0;0), B(1;1), то = B–A=

2) Если A(x;–3), B(2;–7), , то = B – A =

3) Если A(a;b), , то = B – A

4) Если A(1;2), , то = B – A

Задача 27.

P (–3;3) – координаты точки

Найти: координаты точки M,N,Q

Т.к. диагонали в квадрате в точке пересечения делятся пополам, то PO=OM , т.к. PO и OM - коллинеарные векторы, но ↑↓ – разнонаправленные.

Из точки P проведем перпендикуляр к оси y на пересечение с диагональю NQ.

Тогда точка N – вершина квадрата. Т.к. вершина квадрата расположена в первой (I) координатной четверти, то N(3;3);

Т.к. диагонали в точке пересечения делятся пополам, то NO=OQ

, т.к. коллинеарны, но разнонаправлены ↑↓ - т.е данные векторы - коллинеарные векторы и противоположно направленные векторы

Ответ: M(3;–3), Q(–3;–3), N(3;3) и

Формула, как найти координаты середины отрезка

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его конца и начала.

Задача 28.

Т.к. вектор OC равен половине суммы двух других векторов OA и OB, исходящих из одной и той же точки O (см. Задача 4), то

Т.к. и являются радиус-векторами точек A и B, то и .

C , т.к. – радиус вектора точки C.

Формула, как найти координаты середины отрезка

Пример 1.

точки A и B – концы отрезка AB, точка M – середина отрезка AB

а) Если даны координаты точек A(2; –3); B(–3; 1), то как найти координаты середины отрезка AB

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M M M

б) Если даны координаты точек B(4; 7); M(–3; –2), то как найти координаты точки A(x;y).

Ответ: M ; A (– 10; – 11)

Задача 29. Длина вектора по координатам

Дано: координаты вектора

Доказать: Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат

От точки О (0;0) отложим вектор =

Но есть радиус-вектор точки А. Тогда A(a1; a2)

Из треугольника ΔOAA1 по теореме Пифагора:

Формула, как найти длину вектора по координатам вектора

Пример 2.

Задача 30.

Дано: координаты точки

Найти: расстояние между двумя точками

Формула, как найти расстояние между двумя точками

Задача 31.

Дано: координаты начала отрезка, координаты конца отрезка, координаты середины отрезка

Найти: координаты начала, конца и середины отрезка AB.

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M

2) Если B (4;7) и M (–3;–2), то нужно найти координаты начала отрезка A(x;y) – ?

4) Если A (0;1) и M (3;–5), то нужно найти координаты конца отрезка B(x;y) – ?

5) Если A (c;d) и M (a;b), то нужно найти координаты конца отрезка B(x;y) – ?

7) Если A (1;3) и M (0;0), то нужно найти координаты конца отрезка B(x;y) – ?

Задача 32.

Дано: координаты вектора

Используя формулу для вычисления длины вектора по его координатам,

Задача 33.

Дано: координаты точек A и B

Найти: расстояние между двумя точками – ?

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

Решение задач в координатах

Задача 34.

координаты концов треугольника

Найти: длину медианы AM– ?

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M M M(3 ; –1), т.к. точка M – середина BC

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

Задача 35.

Длина стороны OA=a

Координаты точки B (b;c)

Найти: координаты точки C(x;y),

длину сторон AC, CO – ?

Т.к. О – начало координат, то координаты точки О (0;0).

Т.к. OA=a и точка A лежит на оси абсцисс Ox, тогда координаты точки A (a;0).

По правилу параллелограмма и т.к. OC – вектор, то

Таким образом, вектор имеет координаты

Т.к. – радиус-вектора точки C, то координаты точки C (a+b;c).

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

Ответ: C (a+b;c) ; AC= ; CO =

Задача 36.

координаты концов треугольника A(0;1), B(1;–4), C(5;2)

1) Доказать: треугольник ΔABC - равнобедренный

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

Т.к. AC=AB= , то треугольник ΔABC – равнобедренный.

Проведем высоту AM к основанию BC.

Используя формулу для вычисления площади треугольника, получаем

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M M M(3 ; –1), т.к. точка M – середина BC

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

Задача 37.

координаты вершин треугольника

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

Используя формулу для вычисления периметра треугольника, получаем PΔMNP =MN+NP+PM= + +

Задача 38.

координаты вершин четырехугольника

1) Доказать: MNPQ – параллелограмм

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

Т.к. MN=PQ=5 и NP=QM= , то MNPQ – параллелограмм

2) Найти: длину MP, NQ – ?

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

Ответ: MP= 3 , NQ = 5

Точки, треугольники, четырехугольники в координатах

Задача 39.

координаты точек C(4;–3), D(8;1)

точка А лежит на оси ординат Oy

Найти: координаты точки A – ?

1) Т.к. точка A лежит на оси ординат Oy, то ее координаты (0;y).

2) Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

64 + (y – 1) 2 = 16 + (3 + y) 2

64 + 1 – 2y+y 2 =16 + 9 + 6y + y 2

Задача 40.

1) Т.к. точки A и B лежат на оси абсцисс Ox,

AO=OB=80 : 2 = 40 (см)

Координаты точек B(40;0) и A(–40;0)

2) Т.к. OC = 160 см и точка C лежит на оси ординат Oy

Координаты точки C(0;160)

3) Т.к. K – середина BC, то, используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем K

4) Тогда, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

5) Т.к. N – середина отрезка AC, то, используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем

6) Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

Ответ: AK = NB = 100 см

Задача 41.

Прямой угол C = 90°

Точка M лежит на стороне AB

Точка M – середина стороны AB

Доказать: длина высоты в прямоугольном треугольнике равна половине длины гипотенузы.

точка C (0;0) – т.к. точка C – начало координат

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M M M( ; ), т.к. точка M – середина AB.

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

Задача 42.

Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов отрезков, соединяющих противоположные вершины параллелограмма.

AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = AC 2 + BD 2

используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

AB= AB 2 = b 2 +c 2

AC= AC 2 = (a+b) 2 + c 2

BD= AC 2 = (a–b) 2 + c 2

Т.к. AB=CD, AD=BC, тогда

AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2 = 2(AB 2 + AD 2 ) = 2(b 2 +c 2 + a 2 )

AC 2 + BD 2 = (a+b) 2 + c 2 + (a–b) 2 + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + c 2 + a 2 – 2ab + b 2 + c 2 = 2(a 2 + b 2 + c 2 )

Т.е. AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = AC 2 + BD 2

Уравнение линии и уравнение окружности

Определение: Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Теорема - формула уравнения окружности или уравнения радиуса окружности:

В прямоугольной системе координат уравнение окружности с центром в точке C(x0; y0) и радиуса – r имеет вид

(x – x0) 2 + (y – y0) 2 = r 2

Окружность (C;r) с центром в точке C,

координаты точки C(x0; y0)

Доказать: уравнение окружности (x – x0) 2 + (y – y0) 2 = r 2

Возьмем точку M(x;y), лежащей на окружности (C;r)

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

Тогда CM 2 = r 2

r 2 = (x – x0) 2 + (y – y0) 2 (1)

Координаты точки M удовлетворяют уравнению (1).

Если N(x1;y1) не лежит на окружности (C;r), тогда

Т.к. NC ≠ r , то координаты точки N не удовлетворяют уравнению (1).

Значит, уравнение окружности (x – x0) 2 + (y – y0) 2 = r 2

Если центр окружности – точка C имеет координаты C(x0; y0) = O(0;0) уравнение окружности x 2 + y 2 = r 2

Задача 43.

Дано: уравнение окружности с центром в точке A, проходящей через 2 точки

б) (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 4

в) (x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 25

г) (x – 1) 2 + y 2 = 4

д) x 2 + (y + 2) 2 = 2

Найти: центр окружности и ее радиус r

а) Пусть существует окружность с центром A и радиусом r или кратко:

а также точка B c координатами (x;y), которая лежит на данной окружности или кратко:

Но AB = r, значит, AB 2 =r 2 r 2 =9 r 2 =3 2 , т.е. r = 3.

Т.к. x 2 + y 2 = 9, то x0 =0 и y0=0, тогда центр окружности имеет координаты A(0;0). График окружности представлен на рисунке а).

б) Т.к. (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 4, то по уравнению окружности

Тогда A(1;–2), где A – центр окружности.

Т.к. r 2 = 4, то r = 2. График окружности представлен на рисунке б)

в) Т.к. (x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 25, то по уравнению окружности

Тогда A(–5;3), где A – центр окружности.

Т.к. r 2 = 25, то r = 5.

Изобразим данную окружность. График окружности представлен на рисунке в)

г) Т.к. (x – 1) 2 + y 2 = 4, то по уравнению окружности x0 = 1 и y0= 0.

Тогда A(1;0), где A – центр окружности.

Т.к. r 2 = 4, то r = 2.

Изобразим данную окружность. График окружности представлен на рисунке г)

д) Т.к. x 2 + (y + 2) 2 = 2, то по уравнению окружности x0 = 0 и y0= –2.

Тогда A(0;–2), где A – центр окружности.

Т.к. r 2 = 2, то r ≈ 1,4.

Изобразим данную окружность. График окружности представлен на рисунке д)

Задача 44.

Дано: окружность задана уравнением

б) (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 9

Определить: какие из точек A,B,C,D,E принадлежат окружности (A;r)

Если A(3;–4); B(1;0); C(0;5); D(0;0); E(0;1)

а) Если A(3;–4), где x=3 и y=–4, то 3 2 + (–4) 2 = 25

Точка A принадлежит окружности (A;r) или т.A окр (A;r)

Если B(1;0), где x=3 и y=0, то 1 2 + 0 2 = 25

Значит, точка B не принадлежит окружности (A;r) или т.B окр (A;r)

Если C(0;5), где x=0 и y=5, то 0 2 + 5 2 = 25

Значит, точка C принадлежит окружности (A;r) или т.C окр (A;r)

Если D(0;0), где x=0 и y=0, то 0 2 + 0 2 = 25

Значит, точка D не принадлежит окружности (A;r) или т.D окр (A;r)

Если E(0;1), где x=0 и y=1, то 0 2 + 1 2 = 25

Значит, точка E принадлежит окружности (A;r) или т.E окр (A;r)

б) Если A(3;–4), где x=3 и y=–4, то (3 – 1) 2 + (–4 + 3) 2 = 9

Точка A не принадлежит окружности (A;r) или т.A окр (A;r)

Если B(1;0), где x=1 и y=0, то (1 – 1) 2 + (0 + 3) 2 = 9

Точка B принадлежит окружности (A;r) или т.B окр (A;r)

Если C(0;5), где x=0 и y=5, то (0 – 1) 2 + (5 + 3) 2 = 9

Точка C не принадлежит окружности (A;r) или т.C окр (A;r)

Если D(0;0), где x=0 и y=0, то (0 – 1) 2 + (0 + 3) 2 = 9

Точка D не принадлежит окружности (A;r) или т.D окр (A;r)

Если E(0;1), где x=0 и y=1, то (0 – 1) 2 + (1 + 3) 2 = 9

Точка E не принадлежит окружности (A;r) или т.E окр (A;r)

Задача 45.

Дано: окружность, заданная уравнением

Уравнение окружности через 2 точки (x+5) 2 + (y – 1) 2 = 16

Окружность (C;r), где r=4, C(–5;1)

Определить: какие из точек A или B принадлежат окружности (C;r)

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

3 >4, значит, точка A – снаружи окружности (C;r)

4=4, значит, точка B лежит на окружности (C;r)

Задача 46.

Окружность (C;r), где диаметр окружности d=MN

Координаты точек M(–3;5), N(7;–3)

Напишите: уравнение окружности с центром C, проходящей через 2 точки - M и N

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

Т.к. d=2r, то r = • d = =

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем координаты центра окружности C C C(2;1), т.к. точка C – середина MN.

Используя формулу уравнения окружности (x – x0) 2 + (y – y0) 2 = r 2 , следовательно, (x – 2) 2 + (y – 1) 2 =

(x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 41

Ответ: (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 41

Задача 47.

Окружность (C;r), где координаты центра окружности C(0;y)

Точки A и B лежат на окружности

Координаты точек A(–3;0), B(0;9)

Написать: уравнение окружности с центром в точке C, проходящей через 2 точки

Используя формулу уравнения окружности (x – x0) 2 + (y – y0) 2 = r 2 , следовательно, x 2 + (y – y0) 2 = r 2

Т.к. точка B лежит на окружности и ее координаты B(x=0;y=9).

Тогда точка B лежит на оси ординат Oy, то CB=r.

x 2 + (y – y0) 2 = r 2 0 2 + (9 – y0) 2 = r 2

Т.к. точка A лежит на окружности и ее координаты

Тогда точка A лежит на оси абсцисс Ox, то CB=r.

(–3) 2 + (0 – y0) 2 = r 2 9 + y0 2 = r 2

Получаем уравнение окружности вида x 2 + (y – 4) 2 = r 2

Найдем радиус r.

Т.к. точки A и B принадлежат окружности, то

Отсюда следует уравнение окружности x 2 + (y – 4) 2 = 25

Ответ: x 2 + (y – 4) 2 = 25

Уравнение прямой

График уравнения прямой линии, проходящей через точку. Виды уравнений прямой.

1) Формула уравнения прямой l: ax + by + c = 0, где a,b,c – коэффициенты уравнения прямой 2) l1: y = y0 – уравнение прямой, проходящей через точку M0, перпендикулярной прямой y, оси ординат Oy, параллельно прямой x, оси абсцисс Ox 3) l2: x = x0 – уравнение прямой, проходящей через точку M0, параллельной прямой оси ординат Oy, перпендикулярно оси абсцисс Ox 4) y = 0 уравнение прямой, оси абсцисс Ox, проходящей через начало координат 5) x = 0 уравнение оси ординат Oy, которая проходит через точку начала координат

Задача 48.

Составить: уравнение прямой, проходящей через 1 точку – центр окружности.

а) (x +3) 2 + (y – 2) 2 = 25, параллельно оси Oy

б) (x –2) 2 + (y +5) 2 = 3, параллельно оси Ox

а) (x +3) 2 + (y – 2) 2 = 25 центр окружности окр(–3;2), где r=5

Прямая проходит параллельно оси Oy , тогда ее уравнение x=x0.

б) (x – 2) 2 + (y +5) 2 = 3 центр окружности окр(2;–5), где r=

Прямая проходит параллельно оси Oy , тогда ее уравнение y=y0.

Задача 49.

Дано: уравнения двух прямых

прямая b2 задана уравнением: 2x + y – 4=0

Укажите: координаты A(x;y), где A – точка пересечения прямых b1 и b2

Составим и решим систему уравнений прямых

Сумма уравнений (1) и (2) –2x = –6

Подставим x=3 в уравнение 4x+3y=6.

Тогда 12+3y= –6 y= –2

Задача 50.

Дано: координаты двух точек A(1;–1), B(–3;2)

Найдите: уравнение прямой AB по точкам

Общее уравнение прямой имеет вид AB=ax+by+c=0, где через координаты нужно найти a=? b=? c=?

Т.к. точки A и B лежат на прямой AB (или кратко: A и B пр. AB),

то их координаты удовлетворяют уравнению прямой AB

Тогда в уравнение a–b=–c подставим a=3c. Значит,

Тогда уравнение прямой AB через две точки: ax+by+c=0

Ответ: уравнение прямой по двум данным точкам 3x+4y+1=0

Задача 51.

Дано: координаты двух точек C(2;5), D(5;2)

Составьте: уравнение прямой AB, проходящей через 2 заданные точки

Общее уравнение прямой AB: ax+by+c=0, где нужно найти a=? b=? c=?

Т.к. точки A и B лежат на прямой AB, то следовательно их координаты удовлетворяют уравнению прямой AB

Тогда в уравнение 2a+5b=–c подставим

c=–7b, значит, 2a+5b=7b

Тогда следует записать уравнение прямой AB: ax+by+c=0

Ответ: по указанным двум точкам следует задать уравнение прямой AB x+y–7=0

Задача 52.

прямая AB задается уравнением 3x–4y+12=0

Найти: координаты двух точек A и B – точки пересечения с осями координат

Т.к. точки A и B лежат на прямой AB, то следовательно их координаты удовлетворяют уравнению прямой AB.

Т.к. прямая AB пересекает с осями координат, то

I координата – (x;0)

II координата – (0;y)

Далее следует построить прямую AB в координатной плоскости.

Для построения прямой сначала отмечаем точки в системе координат: абсцисса точки A равна -4, ее ордината равна нулю; абсцисса точки B равна нулю, ее ордината равна 3. Проводим прямую линию через отмеченные две точки.

Задача 53.

Координаты вершин треугольника A(4;6), B(–4;0), C(–1;–4)

Точка M лежит на отрезке AB

Запишите: по координатам точек уравнение прямой линии, содержащей медиану MC

Найдем координату точки M.

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M M

M(0;3), т.к. точка M – середина AB.

Каноническое уравнение прямой MC, проходящей через точку, имеет вид: ax+by+c=0, где нужно найти a=? b=? c=?

Т.к. точки M и C лежат на прямой MC (или кратко: M,C MC), то, следовательно их координаты удовлетворяют уравнению прямой MC.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎